北师大版九年级数学上思维特训(十二)含答案:全等与相似的综合应用

发布时间:2021-09-16 23:23:07

思维特训(十二) 全等与相似的综合应用
形状相同的两个图形称为相似图形.若两个图形不仅形状相同,而且大小也相等,则二者是全 等图形.全等是相似的特殊情况,全等图形可以看作是相似比为 1 的特殊的相似图形.证明全等的 方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”,证明相似的方法有“三边对应成比例的两个三角形相 似”“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”“两角分别相等的两个三角形相似”等.
类型一 与相似有关的多结论问题 1.如图 12-S-1,在△ABC 中,AB=BC,∠ABC=90°,BM 是 AC 边上的中线,点 D,E 分别在边 AC 和 BC 上,DB=DE,EF⊥AC 于点 F,有以下结论: (1)∠DBM=∠CDE;(2)S△BDE<S 四边形 BMFE; (3)CD·EN=BN·BD;(4)AC=2DF. 其中正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
图 12-S-1
2.如图 12-S-2,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,四边形 ACDE 是*行四边形,连接 CE 交 AD 于点 F,连接 BD 交 CE 于点 G,连接 BE.下列结论中:①CE =BD;②△ADC 是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④CD·AE=EF·CG.其中一定正确的有( )
图 12-S-2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.如图 12-S-3,菱形 ABCD 中,AB=AC,E,F 分别为边 AB,BC 上的点,且 AE=BF,

连接 CE,AF 交于点 H,则下列结论:①△ABF≌△CAE;②∠AHC=120°;③△AEH∽△CEA; ④AE·AD=AH·AF.其中正确的结论有( )
图 12-S-3 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 类型二 全等三角形与相似三角形的综合 4.△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF 的顶点 E 与△ABC 的斜边 BC 的中点重合,将△DEF 绕点 E 旋转,旋转过程中,线段 DE 与线段 AB 相交于 点 P,线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q. (1)如图 12-S-4①,当点 Q 在线段 AC 上,且 AP=AQ 时,求证:△BPE≌△CQE. (2)如图 12-S-4②,当点 Q 在线段 CA 的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当 BP= 2,CQ=9 时 BC 的长.
图 12-S-4
5.在△AOB 中,C,D 分别是边 OA,OB 上的点,将△OCD 绕点 O 顺时针旋转到△OC′D′的 位置.
(1)如图 12-S-5①,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D 分别为 OA,OB 的中点,求证:①AC′ =BD′;②AC′⊥BD′.
(2)如图②,若△AOB 为任意三角形且∠AOB=θ,CD∥AB,AC′与 BD′相交于点 E,猜想∠AEB =θ 是否成立,请说明理由.

图 12-S-5
6.2017·襄阳 如图 12-S-6,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是中线,AC=BC,一个以点 D 为顶点的 45°角绕点 D 旋转,使角的两边分别与 AC,BC 的延长线相交,交点分别为 E,F, DF 与 AC 相交于点 M,DE 与 BC 相交于点 N.
(1)如图①,若 CE=CF,求证:DE=DF. (2)如图②,在∠EDF 绕点 D 旋转的过程中: ①探究线段 AB,CE,CF 之间的数量关系,并说明理由; ②若 CE=4,CF=2,求 DN 的长.
图 12-S-6

7.如图 12-S-7,在四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点.过点 E 作 AB 的垂线, 过点 F 作 CD 的垂线,两垂线交于点 G,连接 GA,GB,GC,GD,EF.若∠AGD=∠BGC.
(1)求证:AD=BC; (2)求证:△AGD∽△EGF; (3)如图②,若 AD,BC 所在直线互相垂直,求AEDF的值.
图 12-S-7
类型三 与全等、相似三角形有关的探究型问题 8.在△ABC 中,∠ACB=90°,经过点 B 的直线 l(不与直线 AB 重合)与直线 BC 的夹角∠DBC =∠ABC,分别过点 C,A 作直线 l 的垂线,垂足分别为 D,E. (1)问题发现 ①若∠ABC=30°,如图①,则CADE =________; ②若∠ABC=45°,如图②,则CADE =________. (2)拓展探究 当 0°<∠ABC<90°,CADE的值有无变化?请仅就图③的情形给出证明. (3)问题解决

随着△ABC 位置的变化,若直线 CE,AB 相交于点 F,且CEFF=56,CD=4,请直接写出线段 BD 的长.
图 12-S-8

详解详析
1.C [解析] ∵DB=DE, ∴∠DBE=∠DEB, ∴∠DBM+∠MBC=∠CDE+∠C. ∵AB=BC,∠ABC=90°,BM 是 AC 边上的中线, ∴∠C=45°,BM⊥AC, ∴∠MBC=∠C=45°, ∴∠DBM=∠CDE,故(1)正确; ∵∠DBM=∠CDE,∠DMB=∠EFD,DB=DE, ∴△BMD≌△DFE, ∴S△BMD=S△DFE, ∴S 四边形 BDFE-S△DFE=S 四边形 BDFE-S△BMD, ∴S△BDE=S 四边形 BMFE.故(2)错误; ∵∠DBC=∠BEN,∠DCB=∠EBN, ∴△BCD∽△EBN, ∴CBDN=BEDN,∴CD·EN=BN·BD. 故(3)正确; ∵△BMD≌△DFE, ∴BM=DF. 又∵∠ABC=90°,BM 是 AC 边上的中线, ∴BM=12AC, ∴AC=2DF.故(4)正确. 故选 C. 2.D [解析] ①利用 SAS 证明△CAE≌△BAD,可得到 CE=BD; ②利用*行四边形的性质可得 AE=CD,再结合△ADE 是等腰直角三角形可得到△ADC 是等 腰直角三角形;

③利用 SAS 证明△BAD≌△BAE 可得到∠ADB=∠AEB; ④利用已知得出∠GFD=∠AFE,结合①得∠GDF+∠GFD=90°.由*行四边形的性质得 ∠GCD=∠AEF,进而得出△CGD∽△EAF,得出比例式. 3.D [解析] 由菱形 ABCD 中,AB=AC,易证得△ABC 是等边三角形,则可得∠B=∠EAC =60°,由 SAS 即可证得△ABF≌△CAE,则可得∠BAF=∠ACE;利用三角形外角的性质,即可 求得∠AHC=120°;由∠BAF=∠ACE,∠AEC=∠AEC,推出△AEH∽△CEA;在菱形 ABCD 中, AD=AB,由于△AEH∽△CEA,△ABF≌△CAE,于是△AEH∽△AFB,得到 AE·AD=AH·AF. 4.解:(1)证明:∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴∠B=∠C=45°,AB=AC. ∵AP=AQ,∴BP=CQ. ∵E 是 BC 的中点,∴BE=CE. 在△BPE 和△CQE 中, ∵BE=CE,∠B=∠C,BP=CQ, ∴△BPE≌△CQE(SAS). (2)证明:∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形,∴∠B=∠C=∠DEF=45°. ∵∠BEQ=∠EQC+∠C,即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,∴∠BEP+45°=∠EQC+45°, ∴∠BEP=∠EQC,∴△BPE∽△CEQ, ∴CBPE=CBQE . ∵BP=2,CQ=9,BE=CE,∴BE2=18,∴BE=CE=3 2,∴BC=6 2. 5.解:(1)证明:①∵△OCD 旋转到△OC′D′, ∴OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′. ∵OA=OB,C,D 分别为 OA,OB 的中点, ∴OC=OD,∴OC′=OD′. 在△AOC′和△BOD′中,OA=OB,∠AOC′=∠BOD′,OC′=OD′, ∴△AOC′≌△BOD′(SAS),∴AC′=BD′. ②延长 AC′交 BD′于点 E,交 BO 于点 F,如图所示.

∵△AOC′≌△BOD′, ∴∠OAC′=∠OBD′. 又∠AFO=∠BFE,∠OAC′+∠AFO=90°, ∴∠OBD′+∠BFE=90°, ∴∠BEA=90°, ∴AC′⊥BD′. (2)∠AEB=θ 成立,理由如下: 设 AC′交 BO 于点 F. ∵△OCD 旋转得到△OC′D′, ∴OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′. ∵CD∥AB, ∴OOCA=OODB, ∴OOCA′=OODB′,即OODC′′=OOAB. 又∠AOC′=∠BOD′, ∴△AOC′∽△BOD′, ∴∠OAC′=∠OBD′. 又∠AFO=∠BFE, ∴∠AEB=∠AOB=θ. 6.解:(1)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC,AD=BD, ∴∠BCD=∠ACD=45°,∠BCE=∠ACF=90°,∴∠DCE=∠DCF=135°. 在△DCE 和△DCF 中, CE=CF,∠DCE=∠DCF,CD=CD, ∴△DCE≌△DCF,∴DE=DF.

(2)①AB2=4CE·CF.理由: ∵∠DCF=∠DCE=135°, ∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°. 又∵∠CDF+∠CDE=45°,∴∠F=∠CDE, ∴△CDF∽△CED, ∴CCDE=CCDF,即 CD2=CE·CF. ∵∠ACB=90°,AC=BC,AD=BD,∴CD=12AB,∴AB2=4CE·CF.

②如图,过点 D 作 DG⊥BC 于点 G,则∠DGN=∠ECN=90°,CG=DG.

当 CE=4,CF=2 时,由 CD2=CE·CF 得 CD=2 2.

∴在 Rt△DCG 中,CG=DG=2.

∵∠ECN=∠DGN,∠ENC=∠DNG,

∴△CEN∽△GDN,∴GCNN=DCGE =2,

∴GN=13CG=23,

∴DN=

GN2+DG2=2

10 3.

7.解:(1)证明:∵GE 是 AB 的垂直*分线,∴GA=GB.同理 GD=GC.

在△AGD 和△BGC 中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC,

∴△AGD≌△BGC,∴AD=BC. (2)证明:∵∠AGD=∠BGC,

∴∠AGB=∠DGC. 由(1)知△AGD≌△BGC,得GGAB=GGDC. 在△AGB 和△DGC 中,

GGDA=GGCB,∠AGB=∠DGC, ∴△AGB∽△DGC,∴DAGG=EFGG,即AEGG=DFGG. 又易知∠AGE=∠DGF,∴∠AGD=∠EGF, ∴△AGD∽△EGF. (3)如图,延长 AD 交 GB 于点 M,交 BC 的延长线于点 H,则 AH⊥BH. 由△AGD≌△BGC,得∠GAD=∠GBC. 在△GAM 和△HBM 中,∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB, ∴∠AGB=∠AHB=90°, ∴∠AGE=12∠AGB=45°, ∴AEGG= 2. 又△AGD∽△EGF,∴AEDF=AEGG= 2.
8.解:(1)①如图,∵CD⊥BD,∴∠CDB=90°. ∵∠DBC=∠ABC=30°,∴CD=12BC. 在△ABC 和△BAE 中, ∠ACB=∠AEB=90°,∠BAE=∠ABC=30°,AB=BA,∴△ABC≌△BAE(AAS), ∴BC=AE,∴CD=12AE,∴CADE =12. ②如图①,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F, ∵∠ABC=45°,∠ACB=90°,∴△ACB 是等腰直角三角形. ∵∠CBD=45°,∴∠ABD=90°. 又∵AE⊥BD,∴点 B 与点 E 重合,∴EF=12AE. ∵CD⊥BD,∴四边形 CDEF 为矩形,∴EF=CD,∴CD=12AE,∴CADE=12.

(2)CADE 的值无变化. 理由:如图②,延长 AC 与直线 l 交于点 G, ∵∠ACB=90°,∠DBC=∠ABC,∴∠AGB=∠BAG,∴BA=BG. 又∵BC⊥AG,∴C 是 AG 的中点. ∵AE⊥l,CD⊥l,∴CD∥AE, ∴△GCD∽△GAE,∴CADE =GGCA=12. (3)分两种情况:①如图③,当点 F 在线段 AB 上时,过点 C 作 CG∥l 交 AE 于点 H,交 AB 于 点 G,∴∠DBC=∠HCB. ∵∠DBC=∠CBF,∴∠CBF=∠HCB, ∴CG=BG. ∵∠ACB=90°,∴∠CAG+∠CBF=∠HCB+∠ACG=90°,∴∠ACG=∠CAG, ∴CG=AG=BG. ∵CG∥l,∴△CFG∽△EFB,∴CEFF=CBGE =56. 设 CG=5x,BE=6x,则 AB=10x. ∵∠AEB=90°,∴AE=8x,由(2)得 AE=2CD. ∵CD=4,∴AE=8=8x,∴x=1, ∴AB=10,BE=6,CG=5. ∵GH∥l,∴△AGH∽△ABE,∴HBEG=AAHE=12,∴HG=3, ∴CH=CG+HG=8. ∵CG∥l,CD∥AE,∴四边形 CDEH 为*行四边形, ∴DE=CH=8,∴BD=DE-BE=2;

②如图④,当点 F 在线段 BA 的延长线上时,过点 C 作 CG∥l,交 AE 于点 H,交 AB 于点 G, 同理可得 CG=5,BE=6,HG=3,
∴DE=CH=CG-HG=2, ∴BD=DE+BE=8. 综上所述,线段 BD 的长为 2 或 8.


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